HerkuleXLib: la grandeur “PWM”

Les premières fois que j’ai lu le manuel des servomoteurs HerkuleX DRS-0101 et DRS-0201, je suis resté perplexe face à la grandeur désignée par PWM. S’agit-il d’un pulse width modulation (MLI en français) ? D’un couple moteur (car il est parfois décrit comme la charge) ? D’autre chose ?

C’est dans le but d’essayer d’élucider ce mystère que j’écris cet article en pratiquant de la rétro-ingénierie sur les servomoteurs. Et pour être honnête avec vous, à l’heure où j’écris ces premières lignes je n’ai pas de réponse précise (bien qu’une petite idée).

1 Modélisation

Vous l’aurez sans doute compris, j’aime bien m’appuyer sur les modèles théoriques pour comprendre ce qu’il se passe  💡 .

1.1 Modèle électromécanique du MCC

La documentation nous indique que pour les deux modèles de servomoteurs (DRS-0101 et DRS-0201), les moteurs utilisés sont à courant continue (MCC). J’utilise la modélisation proposée par wikipedia (somme toute classique) dont le schéma électrique idéalisé est ci-dessous.

Je synthétise ci-après les éléments qui m’intéressent de l’article de wikipedia en me plaçant dans le cas d’une excitation constante.

HerkuleX: shéma du MCCLa loi des mailles nous donne la tension aux bornes de l’induit : Ui = E + Ri Ii. La loi de Lenz nous permet de déterminer la force contre-électromotrice : E = K Ω. La force de Laplace nous permet quand à elle de déterminer le couple électromécanique : Cm = K Ii. Dans ces différentes formules, les paramètres suivant interviennent :
  • Ui : la tension d’entrée (en V)
  • Ii : le courant d’entrée (en A)
  • Ri : la résistance de l’induit (en Ω)
  • K : la constante électromagnétique (en V.s/rad)
  • Ω : la vitesse de rotation du moteur (en rad/s)
  • Cm : le couple du moteur (en N.m)

En assemblant les trois équations, j’obtiens : Ui = K Ω + Cm Ri/K.

1.2 Commande du MCC

Cette dernière équation nous montre que lorsque le besoin en couple (Cm) est constant, alors la vitesse de rotation (Ω) dépend linéairement de la tension d’entrée (Ui). C’est la raison pour laquelle le pilotage du MCC se fait en général en faisant varier cette tension Ui. Un moyen simple et efficace de le faire lorsqu’on pilote le moteur avec un microcontrôleur est d’utiliser une sortie MLI (modulation de largeur d’impulsion) – PWM (pulse-width modulation) en anglais – reliée à l’électronique de puissance (pont en H par exemple, pour pouvoir aussi piloter le sens de rotation). La fonction de la MLI est de faire varier la tension d’entrée du moteur, mais comment ?

La sortie d’un microcontrôleur ne peut prendre que 2 états : GND (0 V) ou Vcc (en général 5V). L’électronique de puissance est alimentée avec une tension (Ua). La MLI va faire varier l’état de la sortie en créneaux avec un rapport cyclique (α) compris entre 0 et 1 – c’est-à-dire que la sortie est à Vcc pendant une durée α.p (p étant la période), puis à GND pendant (1 – α).p. Le filtrage naturel dû à l’inductance du moteur va lisser les créneaux. Le signal d’entrée du moteur sera donc “vu” comme une tension continue dont la valeur est la moyenne du signal en créneaux, soit Ui = α × Ua.

1.3 Modèle mécanique dynamique

Le système est constitué de deux entités : le servomoteur et la charge. J’applique le principe fondamental de la dynamique sur ce système et j’obtiens :  Cm + Cc = JO × dΩ/dt avec :
  • Cm le couple moteur appliqué sur son axe de rotation (en N.m),
  • Cc le couple de la charge appliqué sur l’axe de rotation du moteur (en N.m),
  • JO est le moment d’inertie de la charge par rapport l’axe de rotation du moteur (en kg.m2),
  • dΩ/dt est l’accélération angulaire (en rad/s2).

Lorsqu’on est en régime établi (vitesse constante) on a alors dΩ/dt = 0, soit Cm = – Cc.

2 Hypothèse

Mon hypothèse est que la grandeur PWM dont la valeur varie entre 0 et 1023 correspond au rapport cyclique de la MLI, c’est-à-dire α = PWM/1023. Si c’est le cas, on peut alors écrire : Ua PWM/1023 = K Ω + Cm Ri/K (1).

Maintenant que les bases théoriques nécessaires sont posées, je vais présenter les essais expérimentaux en charge statique puis en rotation à vide, pour vérifier si cette hypothèse est valide. J’ai commencé par remettre le servomoteur à sa configuration d’usine.

Pour télécharger le code.

3 Charge statique

3.1 Dispositif expérimental

J’ai installé le servomoteur dans son dispositif expérimental (photos ci-dessous), qui va permettre d’appliquer une charge constante connue pour une position fixe du servomoteur. Cette charge est appliquée à l’aide d’un poids de 10 N – soit une masse de 1 kg – (bouteille d’eau – visiblement ressortie de la poubelle de trie vu son état 🙄 ) dont l’élégante ficelle relie son goulot à l’une des 12 encoches de la barre fixée au servomoteur. Les encoches sont espacées de 10 mm, la première étant positionnée à 20 mm du centre de rotation. Il est alors possible d’appliquer des couples de charge entre 0,2 N.m et 1,3 N.m avec un pas de 0,1 N.m. La barre est en carbone et ne pèse que 3 g, pas de quoi influencer la charge, mais elle doit être maintenue horizontale pour que la valeur du couple de charge soit correcte. Le servomoteur est alimenté – non plus par une batterie comme dans un article précédent mais – par une alimentation stabilisée à tension réglable.

Dans cette expérience le servomoteur reste en position fixe, donc sa vitesse angulaire Ω = 0, ce que me permet de simplifier l’équation (1) : Ua PWM/1023 = Cm Ri/K (2). Notez que les grandeurs qui nous intéressent (les autres étant des constantes) sont :
  • PWM : la grandeur que nous cherchons à identifier, retournée par le servomoteur.
  • Ua : la tension d’alimentation du servomoteur, donnée par l’alimentation stabilisée et par le servomoteur (j’utiliserai la valeur de l’alimentation stabilisée).
  • Cm : le couple appliqué au servomoteur, donné par l’encoche sur laquelle est positionné le poids.

Comme la vitesse angulaire est constante (étant nulle), le couple du moteur est égal au couple de la charge au signe près : Cm = – Cc (cf. paragraphe 1.3). J’ai écrit le code suivant – pour maintenir le servomoteur à sa position et afficher PWM et Ua à intervalles réguliers – avec lequel j’ai fait mes mesures.

Pour télécharger le code.

3.2 Réponse PWM/couple

J’ai réalisé ces tests avec Ua = 7,4 V (tension optimale d’après le manuel). Vous pouvez voir sur la figure ci-dessous que la réponse obtenue est proportionnelle entre PWM et Cm, ce qui vérifie l’équation (2).

HerkuleXLib: Torque vs PWM

3.3 Réponse tension d’entrée / couple/PWM

Ensuite, j’ai relevé les valeurs de PWM pour chaque couple possible, le tout avec Ua variant de 7 à 12 V (gammes de valeurs nominales) avec un pas de 1 V. Vous pouvez voir sur la figure ci-dessous que la réponse obtenue est proportionnelle entre Ua et Cm/PWM, ce qui vérifie une nouvelle fois l’équation (2).

HerkuleXLib: Voltage vs Torque per PWM

4 Rotation à vide

4.1 Dispositif expérimental

Le test de rotation à vide est beaucoup plus simple à mener expérimentalement étant donné qu’il ne consiste qu’à faire tourner le servomoteur sans charge. J’ai donc repris le même dispositif auquel j’ai retiré la barre crantée.

Dans cette expérience le servomoteur tourne à vide (charge nulle), donc Cc = 0. La rotation s’effectue à vitesse angulaire (Ω) constante (j’ai effectué les mesures en régime établi), on a alors (cf. paragraphe 1.3) le couple moteur Cm = 0, ce qui permet de simplifier l’équation (1) : Ua PWM/1023 = K Ω (3). Notez que les grandeurs qui nous intéressent (les autres étant des constantes) sont :
  • PWM : la grandeur que nous cherchons à identifier, elle sera la consigne du servomoteur pour effectuer une rotation continue.
  • Ua : la tension d’alimentation du servomoteur, donnée par l’alimentation stabilisée et par le servomoteur (j’utiliserai la valeur de l’alimentation stabilisée).
  • Ω : la vitesse angulaire du servomoteur, donnée par le servomoteur.

L’encodage du servomoteur n’est réalisé que sur 320° en rotation. Il existe donc une zone de 40° dans laquelle les valeurs de position et de vitesse sont fausses. J’ai “filtré” ces valeurs – qui sont identifiables visuellement – pour mes relevés.

J’ai écrit le code suivant – pour effectuer une rotation continue à partir d’une valeur PWM et retourner Ω et Ua à intervalles réguliers – avec lequel j’ai fait mes mesures.

Pour télécharger le code.

4.2 Réponse PWM/vitesse

J’ai réalisé ces tests avec Ua = 7,4 V (tension optimale d’après le manuel). Vous pouvez voir sur la figure ci-dessous que la réponse obtenue est proportionnelle entre PWM et Ω, ce qui vérifie l’équation (3).

HerkuleXLib: Velocity vs PWM

4.3 Réponse tension d’entrée / vitesse/PWM

Ensuite, j’ai relevé Ω pour PWM variant de 0 à 1000 avec un pas de 100, le tout pour Ua variant de 7 à 12 V avec un pas de 1 V. Vous pouvez voir sur la figure ci-dessous que la réponse obtenue est proportionnelle entre la Ua et Ω/PWM, ce qui vérifie une nouvelle fois l’équation (3).

HerkuleXLib: Voltage vs Velocity per PWM

5 Vérification de l’hypothèse

Les résultats expérimentaux montrent, malgré une dispersion non négligeable dans les données, que la modélisation adoptée décrit correctement le comportement du servomoteur et confirme mon hypothèse (cf. paragraphe 2), à savoir, la grandeur PWM correspond bien au rapport cyclique (α) de la MLI.

Je me dit que maintenant que j’ai toutes ces jolies équations, il serait dommage de ne pas essayer d’aller plus loin ! Pourquoi ne pas essayer d’estimer le couple moteur ?

6 Estimation du couple

Précédemment, j’ai vérifié que la réponse du système correspondait bien à la modélisation proposée. Maintenant il s’agit de donner des valeurs aux différentes constantes et d’évaluer la capacité de ce modèle à estimer le couple moteur. Ces résultats ne sont valables que pour le modèle DRS-0101, n’ayant pas de DRS-0201 sous la main.

6.1 Évaluation des constantes

Je cherche ici à déterminer la valeur des constantes de l’équation (1) (pour rappel : Ua PWM/1023 = K Ω + Cm Ri/K). Au paragraphe 3.3, je me suis placé dans le cas d’une charge statique, c’est-à-dire : Ua PWM/1023 = T Ri/K. J’ai mis en forme les données précédemment collectées dans le graphique ci-dessous représentant Cm en fonction de Ua.PWM. La régression linéaire donne la valeur de Ri/K = 2,8186450832.

HerkuleXLib: Torque vs Voltage PWMAu paragraphe 4.3, je me suis placé dans le cas d’une rotation à vide, c’est-à-dire : Ua PWM/1023 = Ω. J’ai mis en forme les données précédemment collectées dans le graphique ci-dessous représentant Ω en fonction de Ua.PWM. La régression linéaire donne la valeur de K = 1,2759099269.

HerkuleXLib: Velocity vs Voltage PWMOn obtient comme modèle électromécanique : Ua PWM/1023 = 1,2759099269 Ω + 2,8186450832 Cm (4).

6.2 Quand l’asservissement s’en mêle

Lors de premiers tests que j’avais menés antérieurement, je me suis rendu compte qu’en fonction des paramètres de l’asservissement, les résultats obtenus sont différents. Je profite donc de cette étude pour vérifier l’influence de ces paramètres sur le rapport Ua.PWM/Cm. D’après la documentation, l’asservissement est composé d’un régulateur PID avec un feedforward à deux gains.

Vous remarquerez sur les courbes ci-dessous que les gains proportionnel (P) et intégral (I) ont une réponse linaire, alors que les autres paramètres (D, FF et FF2) semblent ne pas avoir avoir d’influence dans le cas d’une charge statique. Notez que pour chacun des graphiques les paramètres non-étudiés de l’asservissement sont à leur valeur par défaut (D = 440, I = 0, D = 8000, FF = 0, FF2 = 0) sauf pour l’étude de FF2 pour laquelle FF = 1000. Comme le pilotage en rotation continue du servomoteur ne fait pas intervenir l’asservissement étant donné qu’on pilote directement la PWM. L’asservissement n’a donc pas d’influence sur la vitesse dans le cas précédemment étudié de la rotation à vide.

Je ne peux donc que vous recommander de réévaluer les constantes K et Ri/K dès que vous modifiez l’asservissement si vous voulez estimer la valeur du couple moteur. Ci-après je poursuit mes tests avec les valeurs par défaut des paramètres de l’asservissement.

6.3 Estimation du couple moteur

Pour tester mes paramètres, je me suis placé dans une configuration pour laquelle et couple (Cm) et la vitesse (Ω) interviennent, mais où la composante dynamique n’intervient pas. J’ai donc repris le même dispositif expérimental que pour la charge statique (paragraphe 4.1), pour lequel je vais appliquer un mouvement à vitesse constante à la barre. Étant donné que je ne peux pas appliquer un mouvement de rotation continue, j’ai configuré les phases d’accélération et de décélération pour qu’elles soient les plus courtes possibles.

J’ai écrit le code suivant – pour effectuer une course de 40° dans les deux sens (vers le haut puis vers le bas) et retourner les valeurs moyennes de PWM, Ua et Ω – avec lequel j’ai fait mes mesures. Deux zones de 5° en début et fin de trajectoire ne sont pas prises en compte pour éviter les zones d’accélération et de décélération.

Pour télécharger le code.

J’ai relevé les valeurs moyennes de PWM, Ua et Ω en faisant varier la charge puis j’ai estimé le couple moteur à partir de l’équation (4) du paragraphe 6.1. J’ai représenté les résultats obtenus sur le graphique ci-dessous pour différentes valeurs du temps en mouvement (donc de la vitesse). La vidéo ci-dessous montre une acquisition pour 0,5 N.m avec des déplacements de 2 secondes. Au delà de 0,7 N.m de charge pour le mouvement de 2 secondes, et de 0,8 N.m de charge pour les mouvements de 1 et 1,5 secondes, le servomoteur décroche à la monté – c’est-à-dire qu’il rentre en mode surcharge.

HerkulelXLib: Estimated torque different velocities

Vous remarquerez d’abord que la vitesse du déplacement n’influence pas le résultat, par contre le couple moteur est différent à la montée et à la descente. À la descente, les résultats sont très proches de la charge. L’erreur est inférieure à 0,15 N.m ce qui est similaire à la dispersion observée au paragraphe 6.1. À la monté par contre, le couple est très supérieur à la charge, d’un facteur d’environ 2,3.

J’explique cette différence par la présence de frottement dans les engrenages, effet que j’avais négligé dans l’équation dynamique (paragraphe 1.3). Lorsque le couple de charge (Cc) est opposé à la vitesse de rotation (montée) alors le couple de frottement (Cf) des engrenages s’oppose à la rotation, donc s’ajouter à la charge. Inversement, lorsque le couple de charge (Cc) est dans le même sens que la vitesse de rotation (descente) alors le couple de frottement (Cf) des engrenages s’oppose à la rotation et s’ajouter au moteur (Cm),  comme l’illustre la figure ci-dessous.

schema_frottementMe direz-vous, dans ce cas, si le couple est double à la monté, il devrait être de moitier à la descente – alors qu’on remarque qu’elle est quasiment égale à la charge (à peine inférieure). Pour l’expliquer, il faut regarder dans les entrailles du servomoteur qui est composé d’un moteur et d’un réducteur (engrenages). Ce dernier permet, en appliquant une vitesse rapide et un couple faible à l’entrée (côté moteur), d’obtenir une vitesse lente et un couple élevé en sortie (côté palonnier). Cela étant dit, on comprend qu’un tel frottement a beaucoup plus d’impact quand il s’oppose au moteur – alors que son couple avant l’engrenage est faible – que lorsqu’il s’oppose à la charge – où le couple produit par le moteur après l’engrenage est nettement plus important.

J’ai donc validé la valeur de mes constantes et suis capable d’estimer la valeur du couple moteur. Il est nécessaire de moyenner les valeurs sur une période de temps car les micro-régulations du servomoteur induisent des erreurs locales conséquentes. Par contre, j’introduis un nouveau terme dans mon équation dynamique qui devient : Cm + Cc + Cf = JO × dΩ/dt.

D’après mes résultats, j’évalue le couple de frottement Cf :
  • Cf = 1,269 × Cc, si signe(Cc) = signe(Ω)
  • Cf = – 0,125 × Cc, si signe(Cc) ≠ signe(Ω)

6.4 Reproductibilité des résultats

Les résulats que nous venons d’obtenir sont-ils reproductibles sur d’autres servomoteurs de la même gamme (DRS-0101) oubien faut-il refaire le calcul des constantes pour chacun d’entre eux ?

J’ai fait des tests indentiques au paragraphe précédent (6.3) sur 3 servomoteurs DRS-0101 différents, pour un temps de mouvement de 2 secondes. J’obtiens la figure ci-dessous qui confirme la reproductibilité des résultats – dans une moindre mesure étant donné le faible nombre d’échantillons – à une exception près : le servomoteur 2 décroche plus tôt (à 0,7 N.m alors que les autres décrochent à 0,8 N.m) et le couple qu’il développe à la monté pour une charge de 0,6 N.m est significativement plus élevé que pour les 2 autres. Il s’agit en fait du servomoteur dont j’ai cassé les engrenages lors de précédents tests (voir anectode en conclusion). Lorsque j’ai changé ses engrenages je ne les ai pas regraissés (je n’avais pas de graisse 🙁 ). C’est probablement pour cela que le frottement des engrenages est plus important pour celui-ci.

HerkulelXLib: Estimated torque different servos

J’ai montré dans l’article suivant qu’il s’agit en effet d’un problème de graissage et que le résultat est reproductible sur le servomoteur 2 une fois l’engrenage graissé.

6.4 Estimation de la charge

Mon intension initiale était d’être capable d’estimer le couple de charge, mais au vu de la complexité des équations en jeu, je ne crois pas que cela soit faisable sans simplifications importantes du problème. En effet, 3 paramètres sont interdépendants dans l’équation dynamique (Cc, Cf et JO), dont Cf est une fonction non linéaire et discontinue et JO demande de connaitre la répartition de la charge. Et quand bien même on trouverait une solution théorique, je pense que son implémentation génèrerait des résultats peu pertinents du fait des approximations, des micro-régulations du système et de la dispersion des résultats. Je m’arrête donc là pour cette fois.

7 Conclusion

Cette étude m’a permis de me clarifier les idées quand au sens de cette grandeur PWM, et aussi ce que je pouvais espérer en tirer (j’espère que pour vous aussi 🙂 ). Pour résumer, j’ai proposé une modélisation du servomoteur ainsi qu’une hypothèse sur la valeur PWM que j’ai ensuite toutes les deux validées expérimentalement avec des essais en charge statique et en rotation à vide. J’ai ensuite utilisé les données expérimentales pour évaluer les constantes du servomoteur, dont j’ai validé les valeurs par des essais en charges mobiles (à vitesse constante).

Vous pouvez télécharger le fichier libre office calc contenant mes résultats expérimentaux.

Pour terminer je voulais vous mentionner, si vous êtes tenté de faire des essais de charge de ce type, de faire attention à la casse. Lorsque j’avais fait mes premiers tests, j’ai appliqué des couples (en statique) nettement suppérieurs à 1,2 N.m (couple de démarrage nominal) – jusqu’à 2 N.m. Il se trouve que le servomoteur le supportait jusqu’au moment où son engrenage s’est cassé. Heureusement qu’il est possible d’acheter un kit de secours (jeu d’engrenages) à moindre prix et qu’ils sont faciles à changer ! Appliquer une limite PWM max peut éviter ces situations. Comme nous venons de voir, cette valeur va dépendre de la vitesse et du couple, c’est-à-dire qu’en mouvement le couple maximum admissible sera plus faible qu’à l’arrêt.

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