Geckrobot : Concept et modélisation d’une patte

J’ai introduit le projet Geckrobot précédemment (ici). Je vais développer dans cet article plus en détail le fonctionnement d’une patte :

Le concept initial.
Les modèles cinématiques direct et inverse qui permettrons de piloter les pattes dans un systèmes de coordonnées cartésiennes (X, Y, Z).
Le modèle mécanique qui permettra de dimensionner les servomoteurs.
Le premier prototype de patte.

1. Concept

Je suis parti sur un concept de patte s’articulant sur 3 axes de rotation (1 verticale, 2 horizontales) qui sont motorisées avec les servomoteurs. Le schéma cinématique est représenté ci-dessous.

Dans ce schéma, 0₁, 0₂ et 0₃ sont les centres de rotation, 0₀ est la référence (ou origine) du robot et 0₄ est l’extrémité de la patte. Les angles θ₁, θ₂ et θ₃ sont les déplacements des servomoteurs.

On peut définir les vecteurs suivants :

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{O_0 \, O_1} & = & X_0 \; \vec{x} + Y_0 \; \vec{y} + Z_0 \; \vec{z} \\ \overrightarrow{O_1 \, O_2} & = & Y_1 \; \vec{y_1} \\ \overrightarrow{O_2 \, O_3} & = & Y_2 \; \vec{y_2} \\ \overrightarrow{O_3 \, O_4} & = & Y_3 \; \vec{y_3} \end{eqnarray*}$

où les vecteurs $\vec{y_1}$ , $\vec{y_2}$ et $\vec{y_3}$ sont les vecteurs unitaires respectivement colinéaires aux vecteurs $\overrightarrow{O_1 \, O_2}$ , $\overrightarrow{O_2 \, O_3}$ et $\overrightarrow{O_3 \, O_4}$ .

2. Modélisation cinématique direct

La modélisation des pattes est établie à l’aide de la convention de Khalil-Kleinfinger. C’est une représentation des mouvements généralement utilisée pour décrire la cinématique des robots polyarticulés. Elle permet d’exprimer le passage d’un point i à un point j, à l’aide d’une matrice 4 × 4 sous la forme

$T_{i,j} = \left[ \begin{matrix} A & P \\ [0,0,0] & 1 \end{matrix} \right],$

où A est une matrice 3 × 3 de rotation et P un vecteur colonne 1 × 3 de déplacement. Un changement de repère T_i,k d’un point i à un point k peut alors être facilement obtenu par

$T_{i,k} = T_{i,j} . T_{j,k}.$

Notons que cette forme présente aussi l’intérêt de pouvoir être inversée facilement. Le changement de repère T_j,i est donné par

$T_{j,i} = {T_{i,j}}^{-1} = \left[ \begin{matrix} A^T & - A^T.P \\ [0,0,0] & 1 \end{matrix} \right],$

où A^T est la transposée de A.

Nous avons vu dans la section 1 le schéma cinématique de notre patte, que nous pouvons décrire par quatre matrices de transfert : T_0,1, T_1,2, T_2,3 et T_3,4 données par

$T_{0,1} = \left[ \begin{matrix} \cos \theta_1 & - \sin \theta_1 & 0 & X_0 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 & Y_0 \\ 0 & 0 & 1 & Z_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right],$

$T_{1,2} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_2 & - \sin \theta_2 & Y_1 \\ 0 & \sin \theta_2 & \cos \theta_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right],$

$T_{2,3} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_3 & - \sin \theta_3 & Y_2 \\ 0 & \sin \theta_3 & \cos \theta_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \text{ et }$

$T_{2,3} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & Y_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

Nous pouvons maintenant évaluer la position (X, Y, Z) du point O₄ dans dans le repère du robot en calculant la matrice de transfert T_0,4 qui s’exprime alors

$T_{0,4} = \left[ \begin{matrix} \cos \theta_1 & - \sin \theta_1 . \cos (\theta_2 + \theta_3) & \sin \theta_1 . \sin (\theta_2 + \theta_3) & X \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 . \cos (\theta_2 + \theta_3) & - \cos \theta_1 . \sin (\theta_2 + \theta_3) & Y \\ 0 & \sin (\theta_2 + \theta_3) & \cos (\theta_2 + \theta_3) & Z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right],$

où les coordonnées X, Y et Z s’écrivent

$\begin{array}{l} X = X_0 - \left[ Y_1 + Y_2 \cos \theta_2 + Y_3 \cos ( \theta_2 + \theta_3 ) \right] \sin \theta_1 \\ Y = Y_0 + \left[ Y_1 + Y_2 \cos \theta_2 + Y_3 \cos ( \theta_2 + \theta_3 ) \right] \cos \theta_1 \\ Z = Z_0 + Y_2 \sin \theta_2 + Y_3 \sin ( \theta_2 + \theta_3) \end{array} .$

3. Modélisation cinématique inverse

Maintenant que nous sommes capables de calculer la position X, Y, Z du point O₄en fonction des angles θ₁, θ₂ et θ₃ (position angulaire des servomoteurs), nous allons maintenant rechercher quelles valeurs d’angles sont nécessaires pour atteindre une position X, Y, Z donnée.

Commençons par définir une variable intermédiaire A définie par

$A = Y_1 + Y_2 \cos \theta_2 + Y_3 \cos ( \theta_2 + \theta_3 ) .$

Cette variable représente la projection sur un plan horizontal du vecteur $\overrightarrow{O_1 \, O_4}$ . En utilisant A dans l’expression de X et Y nous obtenons

$\left\lbrace \begin{matrix} X - X_0 = - A \sin \theta_1 \\ Y - Y_0 = A \cos \theta_1 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow A^2 = (X - X_0)^2 + (Y - Y_0)^2 .$

La variable A peut alors avoir deux valeurs (égales au signe près) qui va correspondre à une valeur de l’angle θ₁ à ±180°. Nous allons réduire le problème à la valeur positive de A

$A = \sqrt{(X - X_0)^2 + (Y - Y_0)^2} .$

Nous pouvons donc maintenant déterminer la valeur de θ₁ avec son arc tangente (nous utiliserons la fonction atan2 lorsqu’il faudra le programmer). Nous avons donc

$\theta_1 = \tan^{-1}\(\frac{X_0 - X}{Y - Y_0}$

Pour déterminer les valeurs de θ₂ et θ₃, appuyons nous sur les deux équations suivantes (définition de A et expression de Z)

$\left\lbrace \begin{array}{l} A - Y_1 = Y_2 \cos \theta_2 + Y_3 \cos ( \theta_2 + \theta_3) \\ Z - Z_0 = Y_2 \sin \theta_2 + Y_3 \sin ( \theta_2 + \theta_3) \end{array} \right. .$

On peut d’abord déterminer θ₃ avec l’astuce suivante

$(A - Y_1)^2 + (Z - Z_0)^2 = Y_2^2 + Y_3^2 + 2 Y_2 Y_3 \cos \theta_3 ,$

d’où

$\cos \theta_3 = \frac{(A - Y_1)^2 + (Z - Z_0)^2 - Y_2^2 - Y_3^2}{2 Y_2 Y_3}$

Il faut s’assurer que Y₂ ≠ 0 et Y₃ ≠ 0.

A partir du cosinus, deux valeurs – identiques au signe près – de l’angle θ₃ sont possibles. Si θ₃ > 0, le genou est “tourné à l’intérieur”, si θ₃ < 0, le genou est “tourné à l’extérieur”. Nous choisissons cette seconde solution. Il est aussi important de vérifier que $-1 \leq \cos \theta_3 \leq 1$ , sinon cela signifie que la position X, Y, Z désirée est trop éloignée pour la géométrie de la patte.

Reprenons notre système d’équations précédent et arrangeons le pour avoir une équation linéaire dont les inconnues sont cos θ₂et sin θ₂ en développant cos(θ₂ + θ₃) et sin(θ₂ + θ₃)

$\left\lbrace \begin{array}{l} A - Y_1 = (Y_2 + Y_3 \cos \theta_3) \cos \theta_2 - Y_3 \sin \theta_3 \sin \theta_2 \\ Z - Z_0 = (Y_2 + Y_3 \cos \theta_3 ) \sin \theta_2 + Y_3 \sin \theta_3 \cos \theta_2 \end{array} \right. .$

La résolution du système donne

$\left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta_2 = \dfrac{(Y_2 + Y_3 \cos \theta_3) (A - Y_1) + Y_3 \sin \theta_3 (Z - Z_0)}{(Y_2 + Y_3 \cos \theta_3)^2 + Y_3^2 \sin^2 \theta_3} \\ \sin \theta_2 = \dfrac{(Y_2 + Y_3 \cos \theta_3) \cos \theta_2 - A + Y_1}{Y_3 \sin \theta_3} \end{array} \right. .$

Il faut s’assurer que Y₂ ≠ 0 et Y₃ ≠ 0. Si $\sin \theta_3 = 0$ , c’est à dire $\theta_3 = 0$ ou $180$ , on a alors

$\theta_2 = tan^{-1} \frac{Z - Z_0}{A - Y_1} .$

4. Modélisation mécanique direct

Soit le vecteur $\vec{F}$ une force qu’on applique au point O₄ (extrémité de la patte). Exprimons ce vecteur dans le repère du robot par

$\vect{F} = \left[ \begin{array}{l} F_x \\ F_y \\ F_z \end{array} \right] .$

Les couples (ou moments) C₁, C₂ et C₃ appliqués aux différents servomoteurs s’expriment alors (on ne considère que le moment sur l’axe de rotation)

$\begin{array}{l} C_1 = ( \overrightarrow{O_1 \, O_4} \wedge \vec{F} ) \vec{z_1} \\ C_2 = ( \overrightarrow{O_2 \, O_4} \wedge \vec{F} ) \vec{x_2} \\ C_3 = ( \overrightarrow{O_3 \, O_4} \wedge \vec{F} ) \vec{x_3} \end{array} ,$

où $\wedge$ est un produit vectoriel.

À l’aide des matrices transfert, on obtient aisément les vecteurs $\overrightarrow{O_1 \, O_4}$ , $\overrightarrow{O_2 \, O_4}$ et $\overrightarrow{O_3 \, O_4}$ . Il faut ensuite effectuer un changement de repère du vecteur $\vec{F}$ pour chaque servomoteur à l’aide des matrices de transferts inverses.

Nous pouvons donc poser pour C₁ :

$\overrightarrow{O_1 \, O_4} \wedge \vec{F} = \left\vert \begin{array}{l} 0 \\ Y_1 + Y_2 \cos \theta_2 + Y_3 \cos (\theta_2 + \theta_3) \\ Y_2 \sin \theta_2 + Y_3 \sin (\theta_2 + \theta_3) \end{array} \right. \wedge \left\vert \begin{array}{l} F_x \cos \theta_1 + F_y \sin \theta_1 \\ -F_x \sin \theta_1 + F_y \cos \theta_1 \\ F_z \end{array} \right.$

$C_1 = - [Y_1 + Y_2 \cos \theta_2 + Y_3 \cos ( \theta_2 + \theta_3)] ( F_x \cos \theta_1 + F_y \sin \theta_1 ) .$

Puis C₂ :

$\overrightarrow{O_2 \, O_4} \wedge \vec{F} = \left\vert \begin{array}{l} 0 \\ Y_2 + Y_3 \cos \theta_3 \\ Y_3 \sin \theta_3 \end{array} \right. \wedge \left\vert \begin{array}{l} F_x \cos \theta_1 + F_y \sin \theta_1 \\ (-F_x \sin \theta_1 + F_y \cos \theta_1) \cos \theta_2 + F_z \sin \theta_2 \\ (F_x \sin \theta_1 - F_y \cos \theta_1) \sin \theta_2 + F_z \cos \theta_2 \end{array} \right.$

$\begin{array}{rl} C_2 = & Y_2 [ (F_x \sin \theta_1 - F_y \cos \theta_1) \sin \theta_2 + F_z \cos \theta_2] + \dots \\ & Y_3 [ (F_x \sin \theta_1 - F_y \cos \theta_1) \sin (\theta_2 + \theta_3) + F_z \cos (\theta_2 + \theta_3)] . \end{array} \right.$

Et enfin C₃ :

$\overrightarrow{O_3 \, O_4} \wedge \vec{F} = \left\vert \begin{array}{l} 0 \\ Y_3 \\ 0 \end{array} \right. \wedge \left\vert \begin{array}{l} F_x \cos \theta_1 + F_y \sin \theta_1 \\ (-F_x \sin \theta_1 + F_y \cos \theta_1) \cos (\theta_2 + \theta_3) + F_z \sin (\theta_2 + \theta_3) \\ (F_x \sin \theta_1 - F_y \cos \theta_1) \sin (\theta_2 + \theta_3) + F_z \cos (\theta_2 + \theta_3) \end{array} \right.$

$C_3 = Y_3 [ (F_x \sin \theta_1 - F_y \cos \theta_1) \sin (\theta_2 + \theta_3) + F_z \cos (\theta_2 + \theta_3) ] .$

5. Prototype

Pour conclure ce long article, j’ai fabriqué un premier prototype de patte avec 3 servomoteurs HerkuleX DRS-0101 (d’où le développement de la librairie HerkuleXLib pour Arduino) et des pièces en aluminium. Voici la bête.

La modélisation décrite dans cette article est utilisée dans le cadre de simulations numériques ici.

2 réflexions au sujet de « Geckrobot : Concept et modélisation d’une patte »

sacha dit :

20 janvier 2016 à 23 h 04 min

Et bien ça en fait des calculs. Ça te rappelle tes cours de méca? On est loin de mes bidouilles … 🙂 Alors ça fonctionne? L’arduino le supporte?

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Benoit dit :

20 janvier 2016 à 23 h 09 min

J’avoue que j’ai ressorti les cours. Pour le moment je sais piloter les servomoteurs avec l’Arduino. J’ai commencé à m’attaquer au pilotage de la patte pour faire des trajectoires linéaires de la tête. Je n’y suis pas encore.

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